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《矩阵计算六讲》较系统地介绍了矩阵计算这门学科近十年来发展起来的新方法和新理论。全书共分6 讲，内容包括：标准schur 分解、广义schur 分解和周期schur 分解的计算，特征值的排序问题，多项式之根的快速求法，奇异值分解的计算，求解线性方程组和特征值问题的krylov 子空间方法，以及求解特征值问题的共轭梯度法。

《矩阵计算六讲》在选材上，在注重基础性和实用性的前提下，重点放在了反映该学科的最新进展上；在内容的处理上，在介绍方法的同时，尽可能地阐明方法的设计思想和理论依据，并对有关的结论尽可能地给出严格而又简洁的数学证明；在叙述表达上，力求清晰易读，便于教学与自学。

《矩阵计算六讲》可作为综合性大学、理工科大学及高等师范院校计算数学、应用数学、工程计算等专业高年级本科生和研究生的教材或教学参考书，也可供从事科学与工程计算的科技人员参考。

《矩阵计算六讲》

前言

第一讲schur 分解的计算1

1.1 标准schur 分解的计算 1

1.1.1 householder 变换和givens 变换 1

1.1.2 schur 分解定理 5

1.1.3 实schur 分解 7

1.1.4 qr 方法 8

1.1.5 实schur 标准形之对角块的排序问题 26

1.2 广义schur 分解的计算 28

1.2.1 广义schur 分解定理 28

1.2.2 广义实schur 分解 29

1.2.3 qz 方法 31

1.2.4 广义实schur 标准形之对角块的排序问题 40

1.3 周期schur 分解的计算 42

1.3.1 周期schur 分解定理 42

1.3.2 周期实schur 分解 44

1.3.3 周期qz 方法 46

1.3.4 周期实schur 标准形之对角块的排序问题 58

习题 61

.第二讲多项式之根的快速求法64

2.1 引言 64

2.1.1 基本问题 64

2.1.2 基本理论 65

2.2 newton-horner 方法 67

2.2.1 newton 迭代法简介 67

2.2.2 newton-horner 方法 70

2.3 快速qr 方法 73

2.3.1 友矩阵 74

2.3.2 hn 类矩阵和它的参数化 75

2.3.3 单步位移的快速qr 迭代 82

2.3.4 双重步位移的隐式快速qr 迭代 90

2.3.5 具体实现时的几个问题 96

习题 98

第三讲奇异值分解的计算100

3.1 基本概念和性质 100

3.2 golub-kahan svd 算法 105

3.2.1 对称qr 方法概要 106

3.2.2 golub-kahan svd 算法 109

3.3 分而治之法 116

3.3.1 求解对称特征值问题的分而治之法 117

3.3.2 计算奇异值分解的分而治之法 127

3.4 jacobi 方法 134

3.4.1 求解对称特征值问题的jacobi 方法 135

3.4.2 计算奇异值分解的jacobi 方法 141

3.5 二分法 147

3.5.1 求解对称特征值问题的二分法 147

3.5.2 计算奇异值的二分法 152

习题 153

第四讲krylov 子空间方法i 155

4.1 引言 155

4.2 krylov 子空间 157

4.2.1 krylov 子空间及其性质 157

4.2.2 arnoldi 分解 160

4.2.3 lanczos 分解 165

4.3 rayleigh-ritz 方法 166

4.3.1 rayleigh-ritz 投影方法 166

4.3.2 rayleigh 商的最佳逼近性 167

4.4 arnoldi 方法 170

4.4.1 经典arnoldi 算法 170

4.4.2 隐式重启arnoldi 算法 172

4.4.3 位移求逆技术 180

4.5 lanczos 方法 181

4.5.1 经典lanczos 算法 181

4.5.2 收敛性理论 182

4.5.3 重启lanczos 算法 192

习题 197

第五讲krylov 子空间方法ii 200

5.1 引言 200

5.2 共轭梯度法 201

5.2.1 基本迭代格式 201

5.2.2 收敛性分析 207

5.3 极小剩余法 210

5.3.1 minres 算法 211

5.3.2 收敛性分析 216

5.4 广义极小剩余法 217

5.4.1 gmres 算法 217

5.4.2 收敛性分析 221

5.5 拟极小剩余法 228

5.5.1 非对称lanczos 方法 229

5.5.2 qmr 算法 233

5.6 投影类方法 236

5.6.1 bcg 方法 237

5.6.2 cgs 方法 240

5.6.3 bicgstab 方法 243

习题 247

第六讲共轭梯度法248

6.1 引言 248

6.2 最优步长的计算 251

6.3 最速下降法 254

6.3.1 经典最速下降法 254

6.3.2 收缩最速下降法 255

6.3.3 梯度型同时迭代法 257

6.3.4 预优最速下降法 259

6.4 共轭梯度法 263

6.4.1 共轭梯度法 263

6.4.2 收缩共轭梯度法 266

6.4.3 共轭梯度型同时迭代法 267

6.4.4 预优共轭梯度法 268

6.5 预优梯度型子空间迭代法 269

6.5.1 pgs 迭代法 269

6.5.2 收敛性分析 271

习题 292

符号和定义294

参考文献300

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书籍介绍

《矩阵计算六讲》较系统地介绍了矩阵计算这门学科近十年来发展起来的新方法和新理论。全书共分6 讲，内容包括：标准schur 分解、广义schur 分解和周期schur 分解的计算，特征值的排序问题，多项式之根的快速求法，奇异值分解的计算，求解线性方程组和特征值问题的krylov 子空间方法，以及求解特征值问题的共轭梯度法。

《矩阵计算六讲》在选材上，在注重基础性和实用性的前提下，重点放在了反映该学科的最新进展上；在内容的处理上，在介绍方法的同时，尽可能地阐明方法的设计思想和理论依据，并对有关的结论尽可能地给出严格而又简洁的数学证明；在叙述表达上，力求清晰易读，便于教学与自学。

《矩阵计算六讲》可作为综合性大学、理工科大学及高等师范院校计算数学、应用数学、工程计算等专业高年级本科生和研究生的教材或教学参考书，也可供从事科学与工程计算的科技人员参考。